Integralrechnung: Linearität Teil 1a

Die Gleichung \int_a^b \! (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int_a^b \! f(x)  \, \mathrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \mathrm{d}x  beschreibt das Integral der Summe zweier Funktionen als die Summe der Integrale dieser einzelnen Funktionen.

Auf Deutsch heißt das: Die Fläche unter dem einen Graphen addiert sich auf die Fläche des anderen Graphen.

Das Szenario: f(x) = \frac{1}{2}x+1; g(x) = 3x+2, \mathrm{mit} x \in \mathbb{R}

Plot (2)

Szenario: f(x), g(x), f(x)+g(x)

Als erstes berechne ich die Stammfunktionen von f(x) und g(x):

\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^2 +x +c_1
\int \! g(x) \, \mathrm{d}x = \frac{3}{2}x^2 +2x +c_2

Nun addiere ich die Stammfunktionen:

(\frac{1}{4}x^2 +x +c_1) + (\frac{3}{2}x^2 +2x +c_2)
= \frac{1}{4}x^2 + \frac{6}{4}x^2  + 3x + c_1 + c_2
= \frac{7}{4}x^2 + 3x + c_1 + c_2

Der eben berechnete Term ist die Summe der Integrale der einzelnen Funktionen.

Jetzt berechne ich noch das Integral der Summe beider Funktionen:

f(x) + g(x) = (\frac{1}{2}x+1) + (3x+2)
= \frac{1}{2}x+\frac{6}{2}x+3
= \frac{7}{2}x+3

=  \int \! (\frac{7}{2}x+3) \, \mathrm{d}x = \frac{7}{4}x^2+3x +c_3

Man sieht:

\int_a^b \! (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int_a^b \! f(x)  \, \mathrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \mathrm{d}x 
\Leftrightarrow \frac{7}{4}x^2 + 3x + c_3 = \frac{7}{4}x^2 + 3x + c_1 + c_2

Berechnet man jetzt die bestimmten Integrale für das gewählte Intervall x \in [1,2]:

\left. F(x) \right|_1^2 = \frac{7}{4}
\left. G(x) \right|_1^2 = \frac{13}{2}
\left. FG(x) \right|_1^2 = \frac{33}{4}

Kann man auch hier sehen:

\left. F(x) \right|_1^2 + \left. G(x) \right|_1^2 = \left. FG(x) \right|_1^2
\Leftrightarrow  \frac{7}{4} +  \frac{13}{2} =  \frac{7}{4} +  \frac{26}{4} \textbf{=}  \frac{33}{4}
\frac{33}{4} = \frac{33}{4}

Hauptsatz der Integralrechnung

Dies ist der erste Teile einer Reihe von Artikel, die sich mit der Mathematik beschäftigen. Diese Artikel sind sozusagen die digitalen Gegenstücke zu den Notizen, die ich mir in mein schlaues Buch schreibe.


\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x = \left. F(x)\right|_a^b = F(b) - F(a)

Beispiel:
f(x) = mx + b, mit b = 1 und m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2} + 1

\int_3^5 \! f(x) \, \mathrm{d}x = \int_3^5 \! \frac{1}{2}x+1 \, \mathrm{d}x = \left. \frac{1}{4}x^2+x \right|_3^5
= (\frac{1}{4}5^2+5) -( \frac{1}{4}3^2+3) = (6,25 + 5) -( 2,25 +3) = 11,25 - 5,25 = 6

Plot

LM8560: Nachttischwecker aufgeschraubt

Ich besitze einen Nachttischwecker der schon viele Jahre alt ist, noch von meinem Vater kommt. Ich habe vor kurzem das Batteriefach bestückt, und wollte sehen, welche Auswirkungen das hat. Das Batteriefach war für Uhr, soviel stand dran.

Erwartet habe ich, dass die Batterie die Uhr am Leben hält, wenn es einen Stromausfall oder sonstiges gibt. Ja, das ist auch der Fall, allerdings nur beschränkt. Und warum das so ist, erkläre ich hier:

Ich habe das Radio aufgemacht, um zu schauen, ob vielleicht ein Kondensator kaputt ist, weil ich doch große Zeitdifferenzen festgestellt habe.
Es hat sich herausgestellt, dass der gesamte Wecker in einem Chip steckt, vom eingebauten Radio mal abgesehen.
Der Chip ist der LM8560 – ein Alarm-Uhr-Kombichip. Im Datenblatt dazu fand ich auch eine Bedienungsanleitung für diesen alten Radiowecker, und habe Funktionen entdeckt, die ich vorher gar nicht kannte.

Nach genauem Nachlesen fand ich dann heraus, dass die Batterie nur dafür da ist, um Schwankungen der Frequenz auszugleichen und kurze Stromausfälle von ein paar Minuten zu überbrücken. Die Uhr erwartet, je nach Konfiguration, eine Frequenz von 50 oder 60Hz. Diese wird der von 230V/50Hz Wechselspannung bezogen. In Deutschland schwankt die Frequenz in der Regel um 49.9Hz und 50.1Hz, welche genau genug ist, damit die Uhr ohne weiteres bis zur Zeitumstellung um ein bis zwei Minuten nach einmaligem Einstellen exakt läuft.
Zusätzlich zu der Info habe ich auch heraus gefunden, wie die Sleep-Funktion funktioniert, und wie man sich die Betriebszeit in Sekunden anzeigen kann.