Integralrechnung: Linearität Teil 1b

Im letzten Mathematik-Artikel habe ich geschrieben, dass man anhand eines praktischen Beispiels sehen kann, dass die Regel \int \! (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int \! g(x) \, \mathrm{d}x gilt.

Dies möchte ich etwas verallgemeinern und anhand der Funktionen f(x) = a_1 \cdot x + b_1 und g(x) = a_2 \cdot x + b_2 zeigen. Dies ist kein Beweis! Diese Rechnung soll nur die Zusammenhänge (bei Polynomen 1. Grades zeigen).

\int \! ((a_1 \cdot x + b_1) +(a_2 \cdot x + b_2)) \, \mathrm{d}x = \int \! (a_1 \cdot x + b_1) \, \mathrm{d}x + \int \! (a_2 \cdot x + b_2) \, \mathrm{d}x

\Leftrightarrow \int \! (a_1 \cdot x + a_2 \cdot x + b_1 + b_2) \, \mathrm{d}x = \int \! (a_1 \cdot x + b_1) \, \mathrm{d}x + \int \! (a_2 \cdot x + b_2) \, \mathrm{d}x

\Leftrightarrow \int \! (x \cdot (a_1 + a_2)+ b_1 + b_2) \, \mathrm{d}x = \int \! (a_1 \cdot x + b_1) \, \mathrm{d}x + \int \! (a_2 \cdot x + b_2) \, \mathrm{d}x

\Leftrightarrow (\frac{1}{2}x^2 \cdot (a_1 + a_2)+ b_1 \cdot x + b_2 \cdot x) + c_3 = (\frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot x^2 + b_1 \cdot x + c_1) + (\frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot x^2 + b_2 \cdot x + c_2)

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot x^2 + (b_1+ b_2) \cdot x  + c_3 = (\frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot x^2  + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x +  c_1 + c_2)

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot x^2 + (b_1+ b_2) \cdot x  + c_3 = \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot x^2 + (b_1 + b_2) \cdot x +  c_1 + c_2

\Rightarrow c_3 = c_1 + c_2

Ich hoffe, ich konnte diesen Zusammenhang noch ein wenig stärker verdeutlichen. Der Zusammenhang c_3 = c_1 + c_2 gilt für alle Integrale, da sich die Funktionsterme der Stammfunktion restlos auslöschen (Durch Subtraktion der Stammfunktionen ohne c_n). Es bleiben lediglich die Integrationskonstanten übrig.

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