Integralrechnung: Linearität Teil 1b

Im letzten Mathematik-Artikel habe ich geschrieben, dass man anhand eines praktischen Beispiels sehen kann, dass die Regel \int \! (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int \! g(x) \, \mathrm{d}x gilt.

Dies möchte ich etwas verallgemeinern und anhand der Funktionen f(x) = a_1 \cdot x + b_1 und g(x) = a_2 \cdot x + b_2 zeigen. Dies ist kein Beweis! Diese Rechnung soll nur die Zusammenhänge (bei Polynomen 1. Grades zeigen).

\int \! ((a_1 \cdot x + b_1) +(a_2 \cdot x + b_2)) \, \mathrm{d}x = \int \! (a_1 \cdot x + b_1) \, \mathrm{d}x + \int \! (a_2 \cdot x + b_2) \, \mathrm{d}x

\Leftrightarrow \int \! (a_1 \cdot x + a_2 \cdot x + b_1 + b_2) \, \mathrm{d}x = \int \! (a_1 \cdot x + b_1) \, \mathrm{d}x + \int \! (a_2 \cdot x + b_2) \, \mathrm{d}x

\Leftrightarrow \int \! (x \cdot (a_1 + a_2)+ b_1 + b_2) \, \mathrm{d}x = \int \! (a_1 \cdot x + b_1) \, \mathrm{d}x + \int \! (a_2 \cdot x + b_2) \, \mathrm{d}x

\Leftrightarrow (\frac{1}{2}x^2 \cdot (a_1 + a_2)+ b_1 \cdot x + b_2 \cdot x) + c_3 = (\frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot x^2 + b_1 \cdot x + c_1) + (\frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot x^2 + b_2 \cdot x + c_2)

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot x^2 + (b_1+ b_2) \cdot x  + c_3 = (\frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot x^2  + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x +  c_1 + c_2)

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot x^2 + (b_1+ b_2) \cdot x  + c_3 = \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot x^2 + (b_1 + b_2) \cdot x +  c_1 + c_2

\Rightarrow c_3 = c_1 + c_2

Ich hoffe, ich konnte diesen Zusammenhang noch ein wenig stärker verdeutlichen. Der Zusammenhang c_3 = c_1 + c_2 gilt für alle Integrale, da sich die Funktionsterme der Stammfunktion restlos auslöschen (Durch Subtraktion der Stammfunktionen ohne c_n). Es bleiben lediglich die Integrationskonstanten übrig.

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Integralrechnung: Linearität Teil 1a

Die Gleichung \int_a^b \! (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int_a^b \! f(x)  \, \mathrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \mathrm{d}x  beschreibt das Integral der Summe zweier Funktionen als die Summe der Integrale dieser einzelnen Funktionen.

Auf Deutsch heißt das: Die Fläche unter dem einen Graphen addiert sich auf die Fläche des anderen Graphen.

Das Szenario: f(x) = \frac{1}{2}x+1; g(x) = 3x+2, \mathrm{mit} x \in \mathbb{R}

Plot (2)

Szenario: f(x), g(x), f(x)+g(x)

Als erstes berechne ich die Stammfunktionen von f(x) und g(x):

\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^2 +x +c_1
\int \! g(x) \, \mathrm{d}x = \frac{3}{2}x^2 +2x +c_2

Nun addiere ich die Stammfunktionen:

(\frac{1}{4}x^2 +x +c_1) + (\frac{3}{2}x^2 +2x +c_2)
= \frac{1}{4}x^2 + \frac{6}{4}x^2  + 3x + c_1 + c_2
= \frac{7}{4}x^2 + 3x + c_1 + c_2

Der eben berechnete Term ist die Summe der Integrale der einzelnen Funktionen.

Jetzt berechne ich noch das Integral der Summe beider Funktionen:

f(x) + g(x) = (\frac{1}{2}x+1) + (3x+2)
= \frac{1}{2}x+\frac{6}{2}x+3
= \frac{7}{2}x+3

=  \int \! (\frac{7}{2}x+3) \, \mathrm{d}x = \frac{7}{4}x^2+3x +c_3

Man sieht:

\int_a^b \! (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d}x = \int_a^b \! f(x)  \, \mathrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \mathrm{d}x 
\Leftrightarrow \frac{7}{4}x^2 + 3x + c_3 = \frac{7}{4}x^2 + 3x + c_1 + c_2

Berechnet man jetzt die bestimmten Integrale für das gewählte Intervall x \in [1,2]:

\left. F(x) \right|_1^2 = \frac{7}{4}
\left. G(x) \right|_1^2 = \frac{13}{2}
\left. FG(x) \right|_1^2 = \frac{33}{4}

Kann man auch hier sehen:

\left. F(x) \right|_1^2 + \left. G(x) \right|_1^2 = \left. FG(x) \right|_1^2
\Leftrightarrow  \frac{7}{4} +  \frac{13}{2} =  \frac{7}{4} +  \frac{26}{4} \textbf{=}  \frac{33}{4}
\frac{33}{4} = \frac{33}{4}